La història ens explica com Tales de Milet, un dels set savis de Grècia, va explicar com mesurar amb exactitud l'alçària de la Piràmide de Keops, a Egipte.
Un sacerdot egipci li va preguntar a Tales quina era l'alçària de la piràmide del rei Khufu (el que anomenem Keops).
Tales va reflexionar i li va dir que ho podia calcular sense l'ajuda de cap instrument.
Es va estirar sobre la sorra del desert i va marcar a terra una línia marcant la longitud del seu propi cos, és a dir, la seva alçada. Va explicar :
'Em posaré en un extrem d'aquesta línia i esperaré fins que la meva ombra sigui igual de llarga.
En aquest instant, l'ombra de la piràmide del vostre Khufu també ha de mesurar tants passos com la seva alçària'.
El sacerdot, desorientat per la senzillesa de la solució, es preguntava si això podia ser possible.
Tales afegia: 'Però si voleu que mesuri aquesta alçària a qualsevol hora del dia, clavaré a la sorra el meu bastó. Si ara la seva ombra és
aproximadament la meitat de la seva longitud, també l'ombra de la piràmide ha de mesurar, aproximadament, la meitat de la seva alçària'.
En què es fonamenta Tales per mesurar l'alçària de la piràmide ?
Quines relacions ha descobert ? Tractarem de trobar-les.
|
Exercicis
-
Tales va afirmar que quan la seva ombra mesurava el mateix que la seva pròpia alçada, l'ombra de la piràmide també mesurava
el mateix que la seva alçària. Quina relació matemàtica és la que està establint ?
Com pot obtenir, utilitzant aquesta relació, l'alçària de la piràmide ?
-
A la imatge, el lliscador superior representa la longitud del bastó clavat a terra verticalment, i també el del Sol, amb
l'angle d'incidència dels ratjos solars a terra. Podem observar les longituds de les ombres projectades a terra, del Bastó i de la Piràmide.
Mou el lliscador del Sol fins aconseguir que l'angle d'incidència sigui 37º i la longitud del bastó de 1,6 m.
Calcula la raó entre l'alçada del bastó i la longitud de la seva ombra (comprova el resultat 'Veure raó').
Calcula l'alçària de la piràmide.
-
Mou l'altura del bastó fins 1,4 m i torna a calcular la raó. Ha canviat ? Raona la resposta.
-
Repeteix els càlculs per a diferents altures del bastó. Pots comprovar sempre els resultats clicant sobre la casella
'Veure raó'. Comenta els resultats.
-
Amb un bastó de 1,8 m ajusta els ratjos solars fins aconseguir que l'ombra del bastó sigui igual a la seva longitud.
Quina conclusió va obtenir Tales en aquesta situació ? Comenta-ho.
-
En un triangle rectangle la raó entre el catet oposat a un dels seus angles aguts i el catet contigu es diu Tangent
d'aquest angle.
Així, per exemple, en els casos anteriors hem calculat la tangent de l'angle al dividir la longitud del seu catet oposat h (alçada del bastó) entre la longitud
del seu catet contigu d (ombra del bastó):
Completa ara la següent taula, utilitzant l'aplicació.
Per fer-ho, canvia el valor de l'angle, pren nota de les dades i fes els càlculs necessaris.
| Angle (º) |
h (m) |
d (m) |
tangent |
| 30º |
|
|
|
| 40º |
1,2 |
|
|
| 50º |
|
1,34 |
|
| |
1,8 |
1,26 |
|
| |
|
|
0.5 |
-
Per què la tangent de 45º val 1 ?
-
En el triangle rectangle ABC, quina relació hi ha entre els angles B i C ?
Si la tangent de l'angle B és 0.42, quin és el valor de la tangent de C ? Per què ?
-
Les calculadores científiques i gràfiques ens permeten calcular la tangent d'un angle i
també fan el càlcul invers: coneguda la tangent de l'angle, ens permeten obtenir l'angle. Localitza aquestes funcions a la teva
calculadora i utilitza-les per comprovar els càlculs que hem realitzat en l'exercici 6.
-
Quan el sol és a 35º sobre l'horitzó, l'ombra que projecta un arbre
mesura 23,5 metres. Utilitza la teva calculadora per calcular la tangent de 35º i utilitza aquesta dada per trobar l'alçada
de l'arbre.
-
A l'hora del pati hem mesurat l'ombra del màstil situat a l'entrada de l'institut i el resultat obtingut ha
sigut de 5,73 m. Si el pal té 4.5 m d'alçada, quin angle formaven en aquest instant els raigs solars amb el terra horitzontal ?
-
Un dels catets d'un escaire mesura 12,5 cm. Quant mesura l'altre catet ?
Hi ha més d'una solució ?
|
